Jeżeli chcemy zmierzyć prędkość fali \( v \), to śledzimy jak przemieszcza się w czasie wybrana część fali czyli określona faza. Dlatego prędkość fali określa się jako prędkość fazową. Dla wybranej fazy fali \( {y=f(x- vt)} \) poruszającej się w prawo sprowadza się to do warunku

Różniczkując to równanie względem czasu, otrzymujemy

czyli

Tak wyraża się prędkość fazowa fali.

W przypadku gdy zaburzenie falowe jest złożeniem fal sinusoidalnych o różnych częstotliwościach, to prędkość przenoszenia energii (prędkość fali modulowanej) może być inna niż prędkości fal składowych. Taką prędkość nazywa się prędkością grupową.

W module Rozchodzenie się fal w przestrzeni pokazaliśmy, że dowolna funkcja \( f(x - vt) \) lub \( f(x + vt) \) opisuje falę biegnącą odpowiednio w prawo lub lewo wzdłuż osi \( x \) i jako przykład rozważaliśmy poprzeczną falę harmoniczną. Teraz poznamy równanie ruchu falowego, które stosuje się do wszystkich rodzajów fal: zarówno fal mechanicznych takich jak fale dźwiękowe, fale na wodzie, fale w strunach, w sprężynach, jak i do fal elektromagnetycznych takich, jak na przykład światło.

Równanie ruchu falowego możemy wyprowadzić wychodząc od ogólnego równania fali \( {y=f(x-{vt})} \). W tym celu obliczamy przyspieszenie poprzecznych drgań punktu ośrodka o współrzędnej \( x \), to znaczy obliczamy drugą pochodną \( y \) względem czasu

gdzie \( v^{2} \) jest pochodną funkcji wewnętrznej. (Uwaga: w równaniach piszemy pochodne cząstkowe, oznaczane symbolem \( {\partial} \), bo wychylenie \( y \) jest funkcją dwóch
zmiennych \( y = f(x,t) \).

Równocześnie

Łącząc oba powyższe równania, otrzymujemy równanie różniczkowe ruchu falowego

To równanie spełnia każda funkcja \( f(x - vt) \) jak również \( f(x + vt) \).

Prędkość \( v \) rozchodzenia się fali jest niezależna od amplitudy i częstotliwości, natomiast w przypadku fal mechanicznych zależy od sprężystości ośrodka i jego bezwładności. Na przykład prędkość fali harmonicznej rozchodzącej się wzdłuż naprężonego sznura (struny) jest dana wyrażeniem

gdzie sprężystość sznura jest określona poprzez napinającą go siłę \( F \) (im większa siła tym szybciej wychylone elementy sznura wracają do położenia równowagi), a jego bezwładność zależy od masy \( \mu \) przypadającej na jednostkę długości sznura.

Równanie ruchu falowego można wyprowadzić bezpośrednio z zasad dynamiki Newtona, obliczając prędkość fal w naprężonym sznurze. Z tym wyprowadzeniem możesz się zapoznać w module Prędkość fal w naprężonym sznurze.